การเเจกเเจงค่าความจริง

 

ประพจน์ที่สมมูลกัน

      ประพจน์สองประพจน์ใด จะสมมูลกันก็ต่อเมื่อประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี ใช้สัญลักษณ์ ≡ แทนคำว่า สมมูล ประพจน์ที่สมมูลกันจะสามารถใช้แทนกันได้ เนื่องจากมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
          การตรวจสอบว่าประพจน์สมมูลกันหรือไม่ ทำได้ 2 วิธี ดังนี้
  
 ใช้ตารางแสดงค่าความจริง
  ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนี้สมมูลกันหรือไม่
1. p → q กับ  ~p ∨ q

จะเห็นว่า ค่าความจริงของ p → q กับ  ~p v q ตรงกันกรณีต่อกรณี
ดังนั้น p → q สมมูลกับ  ~p ∨ q

2. ~p ^ q กับ p → q

จะเห็นว่า ค่าความจริงของ ~p ^ q กับ p → q มีบางกรณีต่างกัน
ดังนั้น ~p ^ q ไม่สมมูลกับ p → q

สัจนิรันดร์

   ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ รูปแบบของประพจน์ที่มี ค่าความจริงเป็นจริงเสมอ ไม่ว่าประพจน์ย่อยจะมีค่าความจริงเป็น จริง หรือ เท็จ ก็ตาม เช่น p ∨ ~p , p → p , ~( p ∧ ~p ) , p ↔ p เป็นต้น

   การตรวจสอบว่าประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์ ทำได้ดังนี้

 1. ใช้ตารางแสดงค่าความจริง

     ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนี้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

1.               [ ( p → q ) ∧ p ] → q

จะเห็นว่ารูปแบบของประพจน์  [ ( p → q ) ∧ p ] → q มีค่าจริงเป็นจริงทุกกรณี

ดังนั้น [ ( p → q ) ∧ p ] → q เป็น สัจนิรันดร์

  2. ใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง

ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนี้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

     1. ( p ∧ q ) → ( q ∨ p )

         วิธีทำ สมมุติว่า ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) เป็นเท็จ

 จากแผนภาพ จะเห็นว่า ค่าความจริงของ p และ q เป็นได้ทั้งจริงและเท็จ

แสดงว่าไม่มีกรณีที่ทำให้ ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) เป็นเท็จ

ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) เป็นสัจนิรันดร์

การอ้างเหตุผล

     การอ้างเหตุผลจะประกอบด้วยส่วนสำคัญ 2 ส่วนคือ

1. ส่วนที่เป็น เหตุ หรือ สิ่งที่กำหนดให้ ซึ่งได้แก่ P1 , P2 , P3 , … , Pn

2. ส่วนที่เป็น ผล ซึ่งได้แก่ Q

ในการอ้างเหตุผลอาจจะสมเหตุสมผล (valid) หรือไม่สมเหตุสมผล (invalid) ก็ได้ ซึ่งมีวิธีการตรวจสอบ

คือใช้ สัจนิรันดร์ โดยเชื่อมเหตุทุกเหตุด้วยตัวเชื่อม ∧ แล้ว นำเหตุกับผลมาเชื่อมด้วยตัวเชื่อม → ดังนี้

ถ้า รูปแบบ ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ … ∧ Pn ) → Q เป็นสัจนิรันดร์ แสดงว่า การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล

ถ้า รูปแบบ ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ … ∧ Pn ) → Q ไม่เป็นสัจนิรันดร์ แสดงว่า การอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล

ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่

     เหตุ 1. p → q

            2.  p

     ผล         q

วิธีทำ           ขั้นที่ 1 ใช้ ∧ เชื่อมเหตุเข้าด้วยกัน และใช้ → เชื่อมส่วนที่เป็นเหตุกับผล

                                 จะได้รูปแบบของประพจน์คือ [( p → q ) ∧ p] → q

                    ขั้นที่ 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่ได้ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

จากแผนภาพ แสดงว่า รูปแบบของประพจน์ [( p → q ) ∧ p] → q เป็นสัจนิรันดร์

ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล

ประโยคเปิด

ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปรไม่เป็นประพจน์และเมื่อแทนที่ตัวแปร
ด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์

   บทนิยาม ประโยคเปิดคือ ประโยคบอกเล่า ซึ่งประกอบด้วยตัวแปรหนึ่งตัวหรือมากกว่าโดยไม่เป็นประพจน์ แต่จะเป็นประพจน์ได้ เมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกเอกภพสัมพัทธ์ตามที่กำหนดให้

นั่นคือเมื่อแทนตัวแปรแล้วจะสามารถบอกค่าความจริง

ประโยคเปิด เช่น
1. เขาเป็นนักว่ายน้ำทีมชาติไทย
2. x – 6 = 10
3. y < – 6

ประโยคที่ไม่ใช่ประโยคเปิด เช่น
1. 10 เป็นคำตอบของสมการ x – 1 = 7
2. โลกหมุนรอบตัวเอง
3. จงหาค่า x จากสมการ 2x + 1 = 8
4. กรุณานั่งเงียบ ๆ
5. ห้ามสูบบุหรี่

ข้อตกลง
1. นิยมแทนประพจน์ด้วย p,q,r,s,…
2. นิยมแทนประโยคเปิดด้วย P(x) , Q(x) ,… P(x,y) , Q(x, y), … โดย P(x) , Q(x) , … แทน ประโยคเปิดที่มี x เป็นตัวแปร
โดย P(x, y) , Q(x, y) , … แทน ประโยคเปิดที่มี x และ yเป็นตัวแปร
3. ค่าความจริงที่เป็น ” จริง ” จะเขียนแทนด้วย ” T ”
4. ค่าความจริงที่เป็น” เท็จ” จะเขียนแทนด้วย ” F ”

ตัวอย่างเช่น
• เขาเป็นคนดี ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “เขา”
• x > 3 ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “x”

ตัวบ่งปริมาณ

ตัวบ่งปริมาณ เป็นตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์

ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ

1. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์” ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∀” อ่านว่า”สำหรับสมาชิก x ทุกตัว” 2. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์” ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∃” อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว”

“  สำหรับ x ทุกตัว x2 > 0 “

“  มี  x บางตัว   ชึ่ง  x > 3 “

เราเรียก   “  สำหรับ… ทุกตัว “   และ   “  มี ….บางตัว  “  ว่าเป็นตัวบ่งปริมาณ

ตัวบ่งปริมาณในประโยคดังกล่าวนั้นจะปรากฎในประโยคเปิด  ซึ่งจะจำแนกได้

2 ประเภทคือ

1. ตัวบ่งปริมาณที่หมายถึง  “ ทั้งหมด “ “ ทุก ๆ “ “ แต่ละอัน “ จะเขียนแทนด้วย

สัญลักษณ์   “   ” “  และ

“x  อ่านว่า   สำหรับ x  ทุกตัว สำหรับ x  แต่ละตัว สำหรับ x  ใด ๆ

2. ตัวบ่งปริมาณที่หมายถึง  “ บางส่วน “  “ บางอย่าง“ “ บางสิ่ง  “  “ มี “

“ มีอย่างน้อย “   จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์   “   $ “  และ

$x  อ่านว่า   จะมี  x  บางตัว สำหรับ x  บางตัว มี   x  อย่างน้อยหนึ่งตัว

  ตัวอย่าง      การอ่านประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณกำกับ

1. “x [ x + 0 = x ]           อ่านว่า  สำหรับ x ทุกตัว  x + 0 = x

2. “x [ x Î I   ® x Î R ]  อ่านว่า  สำหรับ x ทุกตัว  ถ้า x เป็นจำนวนเต็มแล้ว x  เป็น

เป็นจำนวนจริง

3. $x [ x >  4 ]      อ่านว่า   มี  x บางตัว  ชึ่ง  x > 4

4. $x [x Î I  Ù x2 =  4 ] อ่านว่า   มี  x บางตัว  ชึ่ง  x เป็นจำนวนเต็มแล้ว x2 =  4

5. $x”y [ x + y = 5 ]  อ่านว่า  สำหรับ x ทุกตัว  จะมี yบางตัว  ซึ่ง   x + y = 5

6. “x”y [ x + y > 4 ]  อ่านว่า  สำหรับ x ทุกตัว  สำหรับ y ทุกตัว  ซึ่ง   x + y  > 4

7. $x$y [ x + y < 3 ]  อ่านว่า  มี x และ yบางตัว  ซึ่ง   x + y <  3

  

   ข้อตกลง

1. ถ้าประพจน์นั้นนำหน้าด้วย “” “  แล้ว  ประโยคเปิดด้านในวงเล็บให้เชื่อมด้วย “ ® “ 2. ถ้าประพจน์นั้นนำหน้าด้วย “$ “  แล้ว  ประโยคเปิดด้านในวงเล็บให้เชื่อมด้วย “  Ù “

ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว

พิจารณาประโยคเปิด > 0 เมื่อกำหนดตัวบ่งปริมาณและเอกภพสัมพัทธ์ให้แตกต่างกัน ดังนี้
x[ > 0], = {0,1,2,3} หมายถึง สมาชิกทุกตัวใน ยกกำลังสองแล้วมากกว่า 0
x[ > 0], = {0,1,2,3} หมายถึง สมาชิกบางตัวใน ยกกำลังสองแล้วมากกว่า 0
x[ > 0], = {1,2,3} หมายถึง สมาชิกทุกตัวใน ยกกำลังสองแล้วมากกว่า 0
x[ > 0], = {1,2,3} หมายถึง สมาชิกบางตัวใน ยกกำลังสองแล้วมากกว่า 0
x[ < 0], = {1,2,3} หมายถึง สมาชิกบางตัวใน ยกกำลังสองแล้วน้อยกว่า 0

การพิจารณาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณนั้น โดยทั่วไปจะพิจารณา
แต่ละส่วนของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ดังนี้
ส่วนที่ 1 ตัวบ่งปริมาณ
ส่วนที่ 2 ประโยคเปิด
ส่วนที่ 3 เอกภพสัมพัทธ์

ในที่นี้จะพิจารณาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ซึ่งเป็นประโยคที่มีตัวแปร
เพียงตัวเดียว และเพื่อความสะดวกในการกล่าวถึงประโยค จะแทนประโยคที่มีตัวแปร x ด้วย P(x)
ดังนั้น ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่จะพิจารณาค่าความจริง จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ดังนี้
[P(x)] เมื่อเอกภพสัมพัทธ์ คือ u
[P(x)] เมื่อเอกภพสัมพัทธ์ คือ u

สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

 

จากสมมูลของประโยคเปิดดังกล่าว  ถ้าเติมตัวบ่งปริมาณชนิดเดียวกันไว้ข้างหน้าจะได้ประพจน์ที่สมมูลกันด้วยเช่น

เนื่องจากประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณเป็นประพจน์  ดังนั้น  สามารถเทียบรูปแบบที่สมมูลกับรูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันได้  เช่น  

ตัวอย่างที่1 ประโยคในข้อใดต่อไปนี้สมมูลกัน                                        

วิธีทำ 

   ประโยคที่สมมูลกันสามารถใช้แทนกันได้  ซึ่งการพิสูจน์ในวิชาคณิตศาสตร์จะนำสมบัติดังกล่าวนี้ไปใช้  ตัวอย่างเช่น

               ที่กล่าวมาแล้วข้างต้นเป็นการพิจารณาสมมูลของประโยคเปิดหรือประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณโดยวิธีเทียบกับสมมูลของประพจน์  ต่อไปนี้จะพิจารณาถึงนิเสธของประโยคเปิดหรือประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณโดยวิธีเทียบกับนิเสธของประพจน์เช่นเดียวกัน  ดังนี้                                                                            นิเสธของ  p  คือ  ~p จากรูปแบบของนิเสธนี้จะตกลงให้นิเสธของประโยคเปิดหรือประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณโดยวิธีเติมตัวเชื่อม  “~”   ข้างหน้าประโยค  เช่น

สำหรับนิเสธของประโยคเปิดในรูปแบบอื่นจะเปรียบเทียบกับนิเสธของประพจน์ได้ดังต่อไปนี้

ข้อสังเกต ประโยคเปิดที่เป็นนิเสธกัน  ถ้าเติมตัวบ่งปริมาณชนิดเดียวกันไปข้างหน้า   ผลจะไม่ได้ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน  เช่น

นอกจากการพิจารณาสมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณโดยวิธีเทียบกับประพจน์ที่สมมูลกันหรือนิเสธของประพจน์แล้ว  ประโยคบางรูปแบบอาจจะต้องใช้พิจารณาจากบทนิยามของสมมูลหรือนิเสธดังนี้

           “ประพจน์สองประพจน์จะสมมูลกันก็ต่อเมื่อมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี”                                                                                                                         “ประพจน์สองประพจน์จะเป็นนิเสธกันก็ต่อเมื่อมีค่าความจริงตรงกันข้ามกรณีต่อกรณี"                                                                                                           ต่อไปนี้เป็นรูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน  และเป็นนิเสธกันที่ใช้วิธีพิจารณาดังกล่าว