สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

 

จากสมมูลของประโยคเปิดดังกล่าว  ถ้าเติมตัวบ่งปริมาณชนิดเดียวกันไว้ข้างหน้าจะได้ประพจน์ที่สมมูลกันด้วยเช่น

เนื่องจากประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณเป็นประพจน์  ดังนั้น  สามารถเทียบรูปแบบที่สมมูลกับรูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันได้  เช่น  

ตัวอย่างที่1 ประโยคในข้อใดต่อไปนี้สมมูลกัน                                        

วิธีทำ 

   ประโยคที่สมมูลกันสามารถใช้แทนกันได้  ซึ่งการพิสูจน์ในวิชาคณิตศาสตร์จะนำสมบัติดังกล่าวนี้ไปใช้  ตัวอย่างเช่น

               ที่กล่าวมาแล้วข้างต้นเป็นการพิจารณาสมมูลของประโยคเปิดหรือประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณโดยวิธีเทียบกับสมมูลของประพจน์  ต่อไปนี้จะพิจารณาถึงนิเสธของประโยคเปิดหรือประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณโดยวิธีเทียบกับนิเสธของประพจน์เช่นเดียวกัน  ดังนี้                                                                            นิเสธของ  p  คือ  ~p จากรูปแบบของนิเสธนี้จะตกลงให้นิเสธของประโยคเปิดหรือประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณโดยวิธีเติมตัวเชื่อม  “~”   ข้างหน้าประโยค  เช่น

สำหรับนิเสธของประโยคเปิดในรูปแบบอื่นจะเปรียบเทียบกับนิเสธของประพจน์ได้ดังต่อไปนี้

ข้อสังเกต ประโยคเปิดที่เป็นนิเสธกัน  ถ้าเติมตัวบ่งปริมาณชนิดเดียวกันไปข้างหน้า   ผลจะไม่ได้ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน  เช่น

นอกจากการพิจารณาสมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณโดยวิธีเทียบกับประพจน์ที่สมมูลกันหรือนิเสธของประพจน์แล้ว  ประโยคบางรูปแบบอาจจะต้องใช้พิจารณาจากบทนิยามของสมมูลหรือนิเสธดังนี้

           “ประพจน์สองประพจน์จะสมมูลกันก็ต่อเมื่อมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี”                                                                                                                         “ประพจน์สองประพจน์จะเป็นนิเสธกันก็ต่อเมื่อมีค่าความจริงตรงกันข้ามกรณีต่อกรณี"                                                                                                           ต่อไปนี้เป็นรูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน  และเป็นนิเสธกันที่ใช้วิธีพิจารณาดังกล่าว