ประพจน์

          หมายถึง ประโยคหรือข้อความที่ใช้สาหรับบอกค่าความเป็นจริงหรือเท็จเพียงอย่างใดอย่าง หนึ่ง ส่วนประโยคหรือข้อความที่ไม่สามารถบอกค่าความจริงหรือเป็นเท็จได้จะไม่เรียกว่า ประพจน์ ตัวอย่างของประโยคหรือข้อความที่เป็นประพจน์ เช่น ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก สุนัขมี 4 ขา ประเทศไทยมีชายแดนติดกับประเทศอินเดีย เดือนมกราคมมี 30 วัน ตัวอย่างของประโยคหรือข้อความที่ไม่เป็นประพจน์ เช่น ห้ามเดินลัดสนาม กรุณาปิดไฟก่อนออกจากห้อง เธอกาลังจะไปไหน เขาเป็นนักฟุตบอลทีมชาติไทย Y + 5 = 8

ตัวอย่างประโยคที่เป็นประพจน์         

           ดาวพุธเป็นดาวเคราะห์                                                                                        (จริง)

           จังหวัดเชียงใหม่ไม่อยู่ทางภาคใต้ของประเทศไทย                                           (จริง)

                                                                                                                          (จริง)

                                                                                                                (เท็จ) 

             เป็นจำนวนตรรกยะ                                                                                     (เท็จ)

           เซตว่างเป็นสับเซตของเซตทุกเซต                                                                     (จริง)           

         ในตรรกศาสตร์  การเป็นจริงหรือเท็จ  ของแต่ละประพจน์  เรียกว่า  ค่าความจริง  (truth  value)  ของประพจน์  เช่น  3 =  I  +  2  เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง  หรือกล่าวสั้นๆ  ได้ว่า  3  =  1 + 2  เป็นประพจน์ที่เป็นจริง

           ประโยคที่ไม่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ  ไม่เป็นประพจน์  เช่น  ประโยคคำถาม  ประโยคคำสั่ง  ห้าม  ขอร้อง  อ้อนวอน  ประโยคแสดงความปรารถนา  หรือประโยคอุทาน

ตัวอย่างประโยคที่ไม่เป็นประพจน์

           ฝนตกหรือเปล่า                                                                                                  (คำถาม)

           อย่าเดินลัดสนาม                                                                                                (ห้าม)

           ช่วยด้วย                                                                                                              (ขอร้อง)

           กรุณาเปิดหน้าต่างด้วย                                                                                        (ขอร้อง)

           ได้โปรดเถิด                                                                                                        (อ้อนวอน)

           น่ากลัวจริง                                                                                                           (อุทาน)

           ออกไปให้พ้น                                                                                                      (คำสั่ง)

           โปรดให้อภัยในความไม่สะดวก                                                                          (ขอร้อง)                     

           อยากไปเที่ยวเหลือเกิน                                                                                         (ปรารถนา)       

การเชื่อมประพจน์

     ในวิชาคณิตศาสตร์หรือในชีวิตประจำวัน จะพบประโยคที่ได้จากการเชื่อมประโยคอื่นๆ ด้วยคำว่า “และ”  “หรือ” “ถ้า…แล้ว…”  “ก็ต่อเมื่อ” หรือพบประโยคซึ่งเปลี่ยนแปลงมาจากประโยคเดิมโดย เติมคำว่า “ไม่” คำเหล่านี้เรียกว่า ตัวเชื่อม(connectives) 

                    

          

                 

วิธีคิดแถวของตารางค่าความจริงนั้น โดยใช้สูตร
2 กำลัง N  ( N คือ จำนวนของประพจน์) เช่น
มี 2 ประพจน์ ได้แก่ p,q      2 กำลัง 2 เท่ากับ 4 แถว
มี 3 ประพจน์ ได้แก่ p,q,r     2 กำลัง 3 เท่ากับ 8 แถว
มี 4 ประพจน์ ได้แก่ p,q,r,s    2 กำลัง 4 เท่ากับ 16 แถว เป็นต้น

การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ”

    ในการเชื่อมประพจน์ด้วย”และ”มีข้อตกลงว่าประพจน์ใหม่จะเป็นจริงในกรณีที่ประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันนั้นเป็นจริงทั้งคู่กรณีอื่นๆเป็นเท็จทุกกรณี

                         p  q       แทน       p และ q 
p  q  เป็น T กรณีเดียวคือกรณีที่ทั้ง p และ q เป็น T

p	q	p  q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “หรือ” 

ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “หรือ” มีข้อตกลงว่าประพจน์ใหม่จะเป็นเท็จในกรณีที่  ประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันเป็นเท็จทั้งคู่ กรณีอื่นๆ เป็นจริงทุกกรณี
p V q       แทน    p หรือ q
p V q  เป็น F กรณีเดียวคือกรณีที่ทั้ง p และ q เป็น F

p	q	p V q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

  

การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า…แล้ว…”

ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “ถ้า…แล้ว…” มีข้อตกลงว่าประพจน์ใหม่จะเป็นเท็จ  ในกรณีที่เหตุเป็นจริงและผลเป็นเท็จเท่านั้น กรณีอื่นๆเป็นจริงทุกกรณี ถ้า p และ q เป็นประพจน์ ประพจน์ใหม่ที่ได้จากการเชื่อมด้วย “ถ้า…แล้ว…” คือ “ถ้า p แล้ว q” เขียนแทนด้วย
p q และตารางค่าความจริงของ p q เขียนได้ดังนี้
p  q      แทน    ถ้า p แล้ว q
p q เป็น F กรณีเดียวคือกรณีที่ทั้ง pเป็น Tและ qเป็น F

p	q	pq
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ”  

การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” มีข้อตกลงว่า ประพจน์ใหม่จะเป็น
จริงในกรณีที่ประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันนั้นเป็นจริงกันทั้งคู่หรือเป็นเท็จด้วยกัน
ทั้งคู่เท่านั้นกรณีอื่นเป็นๆเท็จเสมอ ถ้า p และ q เป็นประพจน์ ประพจน์ใหม่ที่
ได้การเชื่อมด้วย “ก็ต่อเมื่อ”คือ “p ก็ต่อเมื่อ q”  เขียนแทนด้วย  pq
และตารางค่าความจริงของ p q เขียนได้ดังนี้
p q      แทน    p ก็ต่อเมื่อ q    
p q เป็นT เมื่อp และq มีค่าความจริงเหมือนกัน

p	q	p  q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

นิเสธของประพจน์
      นิเสธของประพจน์ p เขียนแทนด้วย ~p และ
ตารางค่าความจริง ของ ~p เขียนได้ดังนี้
~p  (T)   แทน    p  (F)
~ p    มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับค่าความเป็นจริงของp

p	~p
T	F
F	T